闸北区2011学年度第二学期高三数学（文科）高考模拟卷 2012.4 考生注意：分14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．设复数满足，其中为虚数单位，则 ． 2．计算 ． 3．设，则 ． 4．若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数的取值范围为 ． 5．的二项展开式中，的系数是___________（用数字作答）． 6．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127． 则该样本的标准差 克． 7．若实数，满足不等式组的最大值 8．设定点、，动点满足：，则动点的轨迹方程为 ． 9．从名男、名女中选名组成一个，男、女都有 10．设直线与平面相交但不垂直，则在平面内有且只有一条直线与直线垂直与直线平行的不可能与平面垂直与直线垂直的直线不可能与平面平行与直线平行的平面不可能与平面垂直的不等式的解集为，则的取值范围为 ． 12．某城区从某年开始的绿化总面积（万平方米）与时间（年）的关系为．则该城区绿化总面积从4万平方米到12万平方米所用的时间为 年．（四舍五入取整） 13．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 ． 14．对于任意的平面向量，定义新运算：．若为平面向量，，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ． ①； ②； ③； ④．二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．圆关于直线对称的圆方程是 （ ） A． B． C． D． 16．设函数的图像关于轴对称，又已知在上为减函数，且，则不等式的解集为 （ ） A． B． C． D． 17．的圆柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度为．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A． B． C． D． 18．设是公比为的等比数列，首项，对于，，当且仅当时，数列的前项和的取值范围为 （ ） A． B． C． D．三、解答题（本题满分7分）中，．（1）求该正四棱锥的体积；（2）设为侧棱的中点，求异面直线与所成角的大。 20．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数，．（1）设是函数的一个零点，求的值；（2）求函数的单调递增区间． 21．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每小时通过管道向所管辖区域供水千吨．（1）多少小时后，蓄水池存水量最少？（2）当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有多长？ 22．（本小题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分）设椭圆（常数）的左右焦点分别为，是直线上的两个动点，．（1）若，求的值；（2）求的最小值． 23．（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第2小题满分6分） 如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，… 是轴正半轴上的点，且，，…，，… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；（2）求证：（）；（3）设，对所有，恒成立，求实数的取值范围． 闸北区2011学年度第二学期高三数学（理科）高考模拟卷 2012.4 考生注意：分14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．设复数满足，其中为虚数单位，则 ． 2．计算 ． 3．设，则 ． 4．若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数的取值范围为 ． 5．的二项展开式中，的系数是___________（用数字作答）． 6．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127． 则该样本的标准差 克． 7．已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ． 8．设定点、，动点满足：，则动点的轨迹方程为 ． 9．设直线与平面相交但不垂直，则在平面内有且只有一条直线与直线垂直过直线有且只有一个平面与平面垂直与直线平行的不可能与平面垂直与直线垂直的直线不可能与平面平行与直线平行的平面不可能与平面垂直，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的均值等于 分钟． 11．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ． 12．某城区从某年开始的绿化总面积（万平方米）与时间（年）的关系为．则该城区绿化总面积从4万平方米到12万平方米所用的时间为 年．（四舍五入取整） 13．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 ． 14．对于任意的平面向量，定义新运算：．若为平面向量，，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ． ①； ②； ③ ④； ⑤. 二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．圆关于直线对称的圆方程是 （ ） A． B． C． D． 16．设函数的图像关于轴对称，又已知在上为减函数，且，则不等式的解集为 （ ） A． B． C． D． 17．的圆柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度为．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A． B． C． D． 18．设是公比为的等比数列，首项，对于，，当且仅当时，数列的前项和的取值范围为 （ ） A． B． C． D．三、解答题（本题满分7分）19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，菱形中，，其对角线的交点为，现将沿对角线向上翻折，使得．在四面体中，在上移动，点在上移动，且．（1）求线段的最大值与最小值；（2）当线段的长最小时，求异面直线与所成角的大。 20．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数，．（1）设是函数的一个零点，求的值；（2）求函数的单调递增区间． 21．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：月份 用气量（立方米） 支付费用（元） 一 4 8 二 20 38 三 26 50 该市的家用天然气收费方法是：天然气费＝基本费超额费保险费．现已知，在每月用气量不超过立方米时，只交基本费6元；每户的保险费是每月元；用气量超过立方米时，超过部分每立方米付元． 设当该家庭每月用气量立方米时，所支付费用为元．求关于的函数解析式． 22．（本小题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分）设椭圆（常数）的左右焦点分别为，是直线上的两个动点，．（1）若，求的值；（2）求的最小值． 23．（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第2小题满分6分） 如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，… 是轴正半轴上的点，且，，…，，… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；（2）猜测并证明数列的通项公式；（3）设，集合，，若，求实常数的取值范围． 闸北区2011学年度第二学期高三数学（文科）高考模拟卷答案 2012.4 一、1． 2． 3． 4． 5． 10 6． 2 7． 2 8． 9． 10． ②③ 11． 12． 8 13． 14． ①③ 二、15．D． 16．B． 17．三、为底面正方形中心，则为该正四棱锥的高由已知，可求得，，……………………4分所以，． ……………………2分（2）设为中点，连结、， 可求得，，，……………3分在中，由余弦定理，得．…………………2分所以， ……………………1分 20．解：（1）由题设知．因为是函数的一个零点，所以，………………2分即（）．………………………………………3分所以…………………………………2分（2） ． ………………………………………………………………5分当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）． ……………………2分 21．解：（1）设小时后，蓄水池有水千吨．………………………………………1分依题意，…………………………………………4分当，即（小时）时，蓄水池的水量最少，只有1千吨． ………2分（2）依题意， ………………………………………………3分解得：． …………………………………………………………………3分所以，当天有8小时会出现供水紧张的情况． ………………………………1分 22．解：设， ………………………………………………………1分则，由得 ①………………………………………………2分（1）由，得 ② …………………………………………………1分 ③ …………………………………………………1分由①、②、③三式，消去，并求得． ……………………………………3分（2）解法一：易求椭圆的标准方程为：．……………………………2分， ……4分所以，当且仅当或时，取最小值．…2分解法二：， ……………………………4分所以，当且仅当或时，取最小值． …2分 23．解：（1）依题意，有，，…………………………4分（2）证明：①当时，可求得，命题成立； ………………………2分 ②假设当时，命题成立，即有，……………………………………1分则当时，由归纳假设及，得．即解得（不合题意，舍去）即当时，命题成立． ……………………………………………………………4分综上所述，对所有，． ………………… ……………………1分（3） ．………………………2分因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即．…………………………………………………………………………………2分由题意，有． 所以，． ……………………………………………………………………2分 闸北区2011学年度第二学期高三数学（理科）高考模拟卷答案 2012.4 一、 1． 2． 3． 4． 5．10 6．2 7． 8． 9．②③ 10． 11． 12．8 13． 14．①④ 二、15．D． 16．B． 17．三、为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，……1分由已知可求得，，…2分 ． ………………………2 所以，当时，线段的最小值为．……1分（2），， ……2分 ……3分所以， ……………………1分解二：（1）如图，过点作，则，…2分在中，由余弦定理，得．……3分所以，当时，线段的最小值为． ………………1分（2）过点作，在中，可求得，，由余弦定理可求． 20．解：（1）由题设知．因为是函数的一个零点，所以，………………2分即（）．………………………………………3分所以…………………………………2分（2） ． ………………………………………………………………5分当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）． ……………………2分 21．解：根据题意，…………………2分因为，所以．由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量，于是有 …………………………………………………………4分解得 （3）……………………………………………………2分假设一月份用气量超过了基本量，即．将代入（2）得与（3）矛盾．…………………………………2分所以，所以，． …………………………………………2分因此，，，．所以， …………………………………………2分 22．解：设， ……………………………………………………1分则由得 ①………………………………………………2分（1）由，得 ② ……………………………………………………1分 ③ ……………………………………………………1分由①、②、③三式，消去，并求得． ……………………………………3分（2）易求椭圆的标准方程为：． …………………………………2分解法一：，4分所以，当且仅当或时，取最小值． …2分解法二：， ……………………………4分所以，当且仅当或时，取最小值．…2分 23．解：（1）依题意，有，， ………………………4分（2）由得，即．猜测． …………………………………………………………2分证明：①当时，可求得，命题成立； ……………………………1分 ②假设当时，命题成立，即有， …………………………………1分则当时，由归纳假设及，得．即解得（不合题意，舍去）即当时，命题成立． …………………………………………………………3分综上所述，对所有，． ……………………………………1分（3） ．……………………2分因为函数在区间上单调递增，且，所以．…………………………………………………………………………2分 由，有或， 故，．………………………………………………………………2分
