分式运算的技巧
【精练】计算：
【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】=
=
????????????????????????????? =
????????????????????????????? =
【知识大串联】
??? 1．分式的有关概念
??? 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子
就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义
就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义??? 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简
2、分式的基本性质
?
（M为不等于零的整式）3．分式的运算
? (分式的运算法则与分数的运算法则类似)．
??
?(异分母相加，先通分)；
?? 
4．零指数? 
5．负整数指数? 
注意正整数幂的运算性质?? 
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．
分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．
1．顺次相加法
例1：计算：
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】=
=????????????????????????????? =
???????????????????????? ?????=
2．整体通分法
【例2】计算：
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】
=
=
.
3．化简后通分
分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．
4．巧用拆项法
例4计算：
.
.分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到
，这样可抵消一些项.
，这样可抵消一些项.解：原式=
????????? =
????????? =
=
=5．分组运算法
例5：计算：
分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.
解：
???? =
???? =
???? =
???? =
???? =
【错题警示】
一、错用分式的基本性质
例1????????? 化简
错解：原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.
正解：原式
二、错在颠倒运算顺序
例2???????? 计算
错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式
三、错在约分
例1? 当
为何值时，分式
有意义？
为何值时，分式有意义？[错解]原式
.
.由
得
.
得.∴时，分式有意义.
时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式
，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.
，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由
得
且
得且.
∴当且，分式有意义.
且，分式有意义.四、错在以偏概全
例2? 为何值时，分式
有意义？
为何值时，分式有意义？[错解]当
，得
.
，得.∴当，原分式有意义.
，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑
的分母，没有注意整个分母
，犯了以偏概全的错误.
的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解]
，得，
由，得
.
，得.∴当且时，原分式有意义.
且时，原分式有意义.五、错在计算去分母
例3? 计算
.
.[错解]原式
=
.
.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式
.六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4? 当为何值时，分式
的值为零.
为何值时，分式的值为零.[错解]由
，得
.
，得.∴当
或时，原分式的值为零.
[解析]当时，分式的分母
，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由由，得.
，得.由
，得
且.
，得且.∴当时，原分式的值为零.
时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法
例7? 为何值时，分式
为何值时，分式
有意义
错解：要使分式有意义，须满足
，即
.
须满足，即.由
得，或由
得
得，或由得
.
当或时原分式有意义.分析：上述解法由
得或
得或是错误的.因为
与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.
故本题的正确答案是且.
且.八、错在忽视特殊情况
例8????????? 解关于的方程
.
的方程.错解：方程两边同时乘以
，得
，得
，即
.
当
时，
，
时，，当
时，原方程无解.
时，原方程无解.分析：当
时，原方程变为
时，原方程变为
取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.
正解：方程两边同时乘以，得，即
，得，即当
且时，，当或时，原方程无解.
且时，，当或时，原方程无解.【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】=
=
????????????????????????????? =
????????????????????????????? =
【知识大串联】
??? 1．分式的有关概念
??? 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义
就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义??? 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简
2、分式的基本性质
?（M为不等于零的整式）3．分式的运算
? (分式的运算法则与分数的运算法则类似)．
?? ?(异分母相加，先通分)；
?(异分母相加，先通分)；??
4．零指数?
5．负整数指数?
注意正整数幂的运算性质??
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．
分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．
1．顺次相加法
例1：计算：
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】=
=????????????????????????????? =
???????????????????????? ?????=
2．整体通分法
【例2】计算：
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】=
==.
3．化简后通分
分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．
4．巧用拆项法
例4计算：.
.分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.
，这样可抵消一些项.解：原式
=
????????? =
????????? ==
=
5．分组运算法
例5：计算：
分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.
解：
???? =
???? =
???? =
???? =
???? =
【错题警示】
一、错用分式的基本性质
例1????????? 化简
错解：原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.
正解：原式
二、错在颠倒运算顺序
例2???????? 计算
错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式
三、错在约分
例1? 当为何值时，分式有意义？
为何值时，分式有意义？[错解]原式.
.由得.
得.∴时，分式
时，分式有意义.
[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.
，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得
得且.
∴当且
且，分式有意义.
四、错在以偏概全
例2? 为何值时，分式
为何值时，分式有意义？
[错解]当，得.
，得.∴当，原分式有意义.
，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.
的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，
，得，由，得
，得.
∴当且时，原分式有意义.
且时，原分式有意义.五、错在计算去分母
例3? 计算.
.[错解]原式
=.
.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式
.六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4? 当为何值时，分式的值为零.
为何值时，分式的值为零.[错解]由，得
，得.
∴当或时，原分式的值为零.
或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由由，得
，得.
由，得且
，得且.
∴当时，原分式的值为零.
时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法
例7? 为何值时，分式
为何值时，分式有意义
错解：要使分式有意义，须满足，即
须满足，即.
由得，或由
得，或由得.
当或时原分式有意义.
分析：上述解法由得
得或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.
故本题的正确答案是且
且.
八、错在忽视特殊情况
例8????????? 解关于的方程
的方程.
错解：方程两边同时乘以，得，即
，得，即.
当时，，
时，，当时，原方程无解.
时，原方程无解.分析：当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对
时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.
正解：方程两边同时乘以，得
，得，即
当且时，
且时，，当或时，原方程无解.
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